Калькулятор степеней

Как считается

Возвести число a в натуральную степень n — значит умножить его само на себя n раз. Отрицательная степень — это единица, делённая на ту же положительную степень, а дробная степень r/s — корень степени s из a в степени r.

Например, 2¹⁰ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1 024. Целые и дробные основания возводятся в целую степень точно, без округления: 2¹⁰⁰⁰ калькулятор покажет всеми 302 цифрами. Если корень не извлекается нацело, как в 2^(1/2) = √2, ответ даётся приближённо с нужным числом знаков и в точном виде с корнем.

Как возвести число в степень

Введите основание и показатель — результат появится сразу. Основанием может быть целое число, десятичная дробь (через запятую или точку), обыкновенная дробь вида 2/3 или отрицательное число. Показатель тоже может быть отрицательным или дробным. Сколько будет 3 в 3 степени? 3 · 3 · 3 = 27. А 5 в 5 степени — 3 125, 4 в 4 степени — 256, 10 в 10 степени — 10 000 000 000 (единица и десять нулей).

На обычном калькуляторе без кнопки xʸ степень считают повторным умножением: наберите число, нажмите «×» и затем «=» столько раз, сколько нужно (на большинстве моделей «=» повторяет последнее действие). Чтобы получить 2⁵, наберите 2 × = = = = — после четырёх нажатий будет 32. На инженерном калькуляторе и в телефоне в горизонтальном режиме есть кнопки x², x³ и xʸ.

Большие степени обычный калькулятор показывает в виде «1.2676506e+30», теряя цифры. Здесь результат вычисляется точно: 2¹⁰⁰ = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376, а 2¹⁰⁰⁰ выводится всеми 302 цифрами, с количеством цифр и научной записью. Если в ответе больше 100 000 цифр, калькулятор покажет его через логарифм в виде a·10ᵏ.

Отрицательная степень числа

Число в отрицательной степени равно единице, делённой на это число в положительной степени: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Сколько будет 2 в минус 2 степени? 2⁻² = 1/2² = 1/4 = 0,25. Аналогично 3⁻³ = 1/27 = 0,(037), а 10⁻¹⁰ = 0,0000000001. Дробь в отрицательной степени просто переворачивается: (3/4)⁻² = (4/3)² = 16/9. Ноль в отрицательную степень возвести нельзя — получилось бы деление на ноль.

Дробная степень и корень

Показатель r/s означает: извлечь корень степени s и возвести в степень r. 27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9, 16^(3/4) = (∜16)³ = 2³ = 8, а 2^0,5 = √2 ≈ 1,41421356. Если корень извлекается нацело, калькулятор даёт точный ответ, если нет — приближённый и точную запись с корнем (2^(2/3) = ∛4).

Отрицательное число можно возвести в дробную степень, только если знаменатель показателя нечётный: (−8)^(1/3) = −2, потому что (−2)³ = −8. При чётном знаменателе, например (−8)^(1/2), действительного ответа нет — квадратный корень из отрицательного числа существует только среди комплексных чисел. Обратная к степени операция — логарифм, для неё есть калькулятор логарифмов.

Возведение дроби в степень

Чтобы возвести дробь в степень, возводят отдельно числитель и знаменатель: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27 ≈ 0,(296). Сколько будет 1/2 в 3 степени? 1/8 = 0,125. Десятичную дробь удобно считать как обыкновенную: 1,5² = (3/2)² = 9/4 = 2,25, 0,1³ = 0,001. Выражения, где дроби в степени складываются и умножаются, считает калькулятор дробей во вкладке «Выражение».

Свойства степеней

Степени с одинаковым основанием упрощают по трём правилам — их показывает вкладка «Свойства степеней»:

• при умножении показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, например 2⁵ · 2³ = 2⁸ = 256;
• при делении показатели вычитаются: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, например 2⁵ : 2³ = 2² = 4;
• при возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, например (2⁵)³ = 2¹⁵ = 32 768.

Для разных оснований с одинаковым показателем работает правило aⁿ · bⁿ = (a·b)ⁿ: 2³ · 5³ = 10³ = 1 000.

Таблица степеней чисел от 1 до 10

В строках — основание, в столбцах — показатель степени от 1 до 10.

Степени двойки

Степени двойки встречаются в информатике: 2¹⁰ = 1 024 байта в килобайте, 2¹⁶ = 65 536 значений в двух байтах, 2³² ≈ 4,3 млрд адресов IPv4. Перевод чисел в двоичную систему — в калькуляторе систем счисления.

Степени десяти и приставки

Ноль в нулевой степени

Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1: это следует из правила деления степеней, aⁿ : aⁿ = a⁰ = 1. С нулём так рассуждать нельзя, потому что на ноль делить нельзя. В школьной алгебре и математическом анализе 0⁰ считается неопределённостью, а в комбинаторике, программировании и на большинстве калькуляторов принимают 0⁰ = 1 — так удобнее записывать формулы. Калькулятор тоже показывает 1, но с пометкой об этом соглашении.